Qual a diferença entre média, mediana e moda?

As três são medidas de tendência central, mas respondem perguntas diferentes. A média aritmética é o "ponto de equilíbrio" dos valores — soma tudo e divide pela quantidade. A mediana é o valor que divide a amostra ao meio quando ela está ordenada — metade dos dados fica acima, metade abaixo. A moda é simplesmente o valor que mais aparece. Quando a distribuição é simétrica, as três coincidem; quando há outliers, elas divergem.

Quando a média engana?

Sempre que há valores muito extremos (outliers). Se 9 pessoas ganham R$ 2.000 e uma ganha R$ 100.000, a média é R$ 11.800 — um valor que não representa ninguém. Nesse caso, a mediana (R$ 2.000) reflete melhor o "típico". Use mediana em rendas, tempos de resposta, preços de imóveis — qualquer distribuição com cauda longa.

Uma lista pode ter mais de uma moda?

Pode. Se dois valores empatam na maior frequência, a lista é bimodal; três ou mais empatados, multimodal. Se todos aparecem o mesmo número de vezes, não há moda (lista amodal). É normal — o importante é relatar corretamente em vez de "escolher" uma das modas.

Como se calcula a mediana quando há um número par de valores?

Ordene a lista e pegue os dois valores centrais — a mediana é a média aritmética deles. Exemplo: em {2, 4, 6, 8}, os dois centrais são 4 e 6, e a mediana é (4 + 6) ÷ 2 = 5. Com número ímpar de valores é mais direto: é simplesmente o do meio.

A média pode não ser um dos valores da lista?

Sim, é comum. A média de {1, 2, 4} é 2,33… Nenhum dos valores originais é 2,33, e isso não é um erro — a média é uma medida calculada, não precisa coincidir com um elemento da amostra. O mesmo vale para a mediana em conjuntos pares. A moda, por definição, sempre é um valor presente na lista.

Precisa ordenar a lista para calcular a média?

Não. A média só depende da soma e da quantidade — a ordem não importa. Você só precisa ordenar para achar a mediana (e a ordenação é útil também para visualizar a distribuição). A moda pede contagem de frequências, também independente da ordem.

Como calcular média, mediana e moda

Calcule média, mediana e moda de uma lista com 2 a 100 números de uma vez só. Cada medida aparece com o passo a passo usando exatamente os valores que você digitou — soma e divisão para a média, ordenação para a mediana e tabela de frequências para a moda.

O que são medidas de tendência central

Quando você tem uma lista de valores, normalmente quer responder: "qual é o valor típico dessa amostra?". As três medidas de tendência central — média aritmética, mediana e moda — respondem isso de formas diferentes, e usar a errada pode levar a conclusões enganosas. A estatística descritiva começa por elas porque elas resumem, em um único número, um conjunto inteiro de observações.

Média aritmética

A média é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores. É o que a gente usa para "notas da prova", "altura média da turma", "consumo médio de combustível". A fórmula é:

\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n} = \frac{\sum x _{i}}{n}

A média é sensível a valores extremos. Se a turma tirou 7, 7, 8, 8, 9 e um aluno tirou 1, a média cai bastante apesar de a maior parte ter ido bem. Por isso, quando há outliers, a média pode esconder o comportamento típico — e é aí que a mediana entra.

Mediana

A mediana é o valor central da lista ordenada. Ela divide os dados em duas metades: 50% ficam abaixo e 50% acima. Para encontrá-la:

Ordene os valores do menor para o maior.
Se n é ímpar, a mediana é o valor na posição (n+1)/2.
Se n é par, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais — nas posições n/2 e n/2 + 1.

Exemplo: em {3, 5, 7, 9}, os dois centrais são 5 e 7; a mediana é (5 + 7) ÷ 2 = 6. Em {3, 5, 7, 9, 11}, a mediana é simplesmente o do meio: 7. A mediana é robusta a outliers — trocar o 11 por 1000 não muda a mediana em nada.

Moda

A moda é o valor que aparece com maior frequência na lista. Uma lista pode ter:

Uma moda (unimodal): apenas um valor se repete mais que os demais.
Duas modas (bimodal): dois valores empatam na maior frequência.
Várias modas (multimodal): três ou mais valores empatam.
Nenhuma moda (amodal): todos os valores aparecem o mesmo número de vezes (inclusive o caso em que cada valor aparece apenas uma vez).

A moda é a única das três medidas que também faz sentido para dados categóricos — ex.: "a cor mais comum nos carros do estacionamento". Para dados numéricos, costuma ser útil quando há agrupamento natural (notas redondas, idades em anos completos, valores discretos).

Exemplo resolvido

Considere as notas {4, 7, 10, 7, 8}.

Média: (4 + 7 + 10 + 7 + 8) ÷ 5 = 36 ÷ 5 = 7,2.
Mediana: ordenada fica {4, 7, 7, 8, 10}. Como n = 5 (ímpar), a mediana é o valor central — 7.
Moda: o 7 aparece duas vezes e os demais uma vez cada — a moda é 7.

Neste caso, mediana e moda coincidem, e a média está próxima — é sinal de distribuição razoavelmente simétrica sem outliers marcantes.

Quando cada uma é mais útil

Média — quando os dados são simétricos e sem extremos drásticos. Boletins escolares, temperaturas, indicadores que usam "média ponderada" por trás.
Mediana — quando há outliers ou distribuição assimétrica. Renda, preços de imóveis, tempos de execução de software, salários.
Moda — para dados categóricos ou discretos com repetição. Preferências, número de filhos por família, tamanho mais vendido de uma camiseta.

Erros comuns

Esquecer de ordenar a lista antes de pegar a mediana. Pegar "o do meio" sem ordenar dá qualquer coisa.
Confundir mediana com "média dos extremos". A média entre o maior e o menor é outra medida (ponto médio ou amplitude média), não a mediana.
Reportar "a moda" quando há empate. Se dois ou mais valores empatam em frequência máxima, diga isso — a lista é bimodal/multimodal, e omitir modas é informação perdida.
Considerar lista com todos os valores únicos como tendo moda. Se todos aparecem uma única vez, a lista é amodal. Não é erro; apenas indique corretamente.
Usar média em distribuição muito assimétrica. A média de salários em uma empresa com poucos executivos altíssimos distorce tudo. A mediana seria mais representativa.

Aplicações no dia a dia

Notas escolares: média para aprovação, mediana para entender se a turma está equilibrada.
Renda e demografia: mediana é sempre reportada junto com a média porque resiste a bilionários puxando o número para cima.
Esportes: média de pontos por jogo, mediana do tempo de corrida, moda da quantidade de rebotes num jogo.
Indicadores de cidade: mediana do preço do aluguel é padrão em relatórios imobiliários.
Pesquisa e qualidade: moda da satisfação em escala Likert, mediana do tempo de resposta em atendimento.

Para comparar o peso de cada valor dentro da amostra em termos relativos, combine média com porcentagem (quanto cada classe representa do total). Já para extrapolar médias escalando amostras, regra de três resolve em uma linha — inclusive médias ponderadas por pesos inteiros.

Perguntas frequentes

Qual a diferença entre média, mediana e moda?: As três são medidas de tendência central, mas respondem perguntas diferentes. A média aritmética é o "ponto de equilíbrio" dos valores — soma tudo e divide pela quantidade. A mediana é o valor que divide a amostra ao meio quando ela está ordenada — metade dos dados fica acima, metade abaixo. A moda é simplesmente o valor que mais aparece. Quando a distribuição é simétrica, as três coincidem; quando há outliers, elas divergem.
Quando a média engana?: Sempre que há valores muito extremos (outliers). Se 9 pessoas ganham R$ 2.000 e uma ganha R$ 100.000, a média é R$ 11.800 — um valor que não representa ninguém. Nesse caso, a mediana (R$ 2.000) reflete melhor o "típico". Use mediana em rendas, tempos de resposta, preços de imóveis — qualquer distribuição com cauda longa.
Uma lista pode ter mais de uma moda?: Pode. Se dois valores empatam na maior frequência, a lista é bimodal; três ou mais empatados, multimodal. Se todos aparecem o mesmo número de vezes, não há moda (lista amodal). É normal — o importante é relatar corretamente em vez de "escolher" uma das modas.
Como se calcula a mediana quando há um número par de valores?: Ordene a lista e pegue os dois valores centrais — a mediana é a média aritmética deles. Exemplo: em {2, 4, 6, 8}, os dois centrais são 4 e 6, e a mediana é (4 + 6) ÷ 2 = 5. Com número ímpar de valores é mais direto: é simplesmente o do meio.
A média pode não ser um dos valores da lista?: Sim, é comum. A média de {1, 2, 4} é 2,33… Nenhum dos valores originais é 2,33, e isso não é um erro — a média é uma medida calculada, não precisa coincidir com um elemento da amostra. O mesmo vale para a mediana em conjuntos pares. A moda, por definição, sempre é um valor presente na lista.
Precisa ordenar a lista para calcular a média?: Não. A média só depende da soma e da quantidade — a ordem não importa. Você só precisa ordenar para achar a mediana (e a ordenação é útil também para visualizar a distribuição). A moda pede contagem de frequências, também independente da ordem.